Question

點(diǎn)A，B，C都在半徑為r的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點(diǎn)H．若BH=

3

AC，則∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)等于

 

（長(zhǎng)度單位）．

Answer 1

考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：壓軸題,分類討論

分析：作出圖形，根據(jù)同角或等角的余角相等求出∠H=∠C，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ACD和△BHD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出

BD

AD

，再利用銳角三角函數(shù)求出∠ABC，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍求出∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角，然后利用弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠H+∠DBH=90°，
∠C+∠DBH=90°，
∴∠H=∠C，
又∵∠BDH=∠ADC=90°，
∴△ACD∽△BHD，
∴

BD

AD

=

BH

AC

，
∵BH=

3

AC，
∴

BD

AD

=

3

，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為30°×2=60°，
∴∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)=

60•π•r

180

=

1

3

πr．
如圖2，當(dāng)∠ABC=150°時(shí)，則∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為300°，
∴∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)=

300•π•r

180

=

5

3

πr．
故答案為：

1

3

πr或

5

3

πr．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．