Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，OA=5，OB=2

5

，將△ABO繞原點O順時針旋轉90°得△A₁B₁O，連接BB₁交x軸于點C．
（1）分別求出點A₁、B、B₁的坐標；
（2）若拋物線y=3x²+bx+c經過A₁，C兩點，求此拋物線的解析式；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得△PA₁C與△BOC相似（其中P的對應點為B）？若存在，請你求出P點的坐標，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A點坐標可求出A₁點坐標，先求出B點坐標進而便可求出B₁點坐標；
（2）先求出C點坐標，再將A₁、C兩點坐標代y=3x²+bx+c入即可解得此拋物線的解析式；
（3）根據(jù)三角形相似的性質求出相應的P點坐標，再根據(jù)拋物線的相似性便可求出另一個滿足條件的P點坐標，注意不要漏解．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）由題意A（0，5）△ABO繞原點O順時針旋轉90°后得到的A₁點坐標為（5，0），
在Rt△AOB中，AB=

OA2-OB2

=

5

，
過B作BD⊥x軸于D點，
△ABO∽△ODB
∴

BD

OD

=

OB

AB

=

2 5

5

=2
OB=

OD2+BD2

=2

5

∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO繞原點O順時針旋轉90°后得到的B₁點坐標為（4，-2）；

（2）由連接BB₁交x軸于點C，可得C點坐標為（

10

3

，0）．（6分）
因拋物線y=3x²+bx+c經過A₁，C兩點，
則此拋物線的解析式為y=3(x-

10

3

)(x-5)；（8分）

（3）在x軸下方的拋物線上存在點P，使得△PA₁C與△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B₁A₁C∽△BOC可證，
而B₁（4，-2）在拋物線y=3(x-

10

3

)(x-5)上，
∴P點即B₁點；（12分）
又由拋物線的對稱性可知，點（4

1

3

，-2）也滿足條件．（14分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和旋轉的性質及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結合和分類討論等數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．