Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．
（1）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到（圖3）的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系？證明你的猜想．
（3）若正方形的邊長為4，當點N運動到DC邊的中點處時，求BM的長．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN；
（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似；
（3）根據(jù)（1）可知，BM+DN=MN，設 MN=x，則 BM=x-2，則CM=4-（x-2）=6-x，在Rt△CMN中，利用MN²=CM²+CN²，求出即可．

解答：解：（1）BM+DN=MN成立．
理由：如圖2，把△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，
得到△ABE，則可證得E、B、M三點共線（圖形畫正確）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
在△AEM與△ANM中，

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．
理由：如圖3，在線段DN上截取DQ=BM，
在△AMN和△AQN中，

AQ=AM ∠QAN=∠MAN AN=AN

∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．

（3）如圖1，
∵正方形的邊長為4，DN=2，
∴CN=2．
根據(jù)（1）可知，BM+DN=MN，
設 MN=x，則 BM=x-2，
∴CM=4-（x-2）=6-x．
在Rt△CMN中，
∵MN²=CM²+CN²，
∴x²=（6-x）²+2²．
解得 x=

10

3

．
∴MB=

10

3

-2=

4

3

．

點評：此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點，運用截長補短法構(gòu)造全等三角形是關鍵．也可運用圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)構(gòu)造全等三角形．