Question

已知：在?ABCD中，AE⊥CD，垂足為E，點(diǎn)M為AE上一點(diǎn)，且ME=AB，AM=CE，連接CM并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求證：△ABC是等腰三角形．
（2）求證：∠AFM=3∠BCF．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）易證△ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：AD=BC，所以AC=BC，即△ABC是等腰三角形．
（2）連接BM，由已知條件可證明：△ABM≌△ECM，所以∠CME=∠AMF，再根據(jù)三角形外角之間的關(guān)系即可證明：∠AFM=3∠BCF．

解答：證明：（1）∵AE⊥CD，CE=DE，
∴AC=AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）連接BM，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠CEM，
在△ABM和△ECM中，

AB=ME ∠BAM=∠CEM AM=CE

，
∴△ABM≌△ECM（SAS），
∵∠AMF=∠ACM+∠CAM，∠CME=∠AMF，
∴∠CME=∠ACM+∠CAM，
∵∠CAE=∠DAE，
∴∠AFM=3∠BCF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形．