Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)A．拋物線y=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)E（-1，0），并與直線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式（關(guān)系式）；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例線段之間的關(guān)系，求出線段OC的長度，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，如題圖所示；
（3）存在所求的M點(diǎn)，在x軸上有3個，y軸上有2個，注意不要遺漏．求點(diǎn)M坐標(biāo)的過程并不復(fù)雜，但要充分利用相似三角形比例線段之間的關(guān)系．
解答：解：（1）直線解析式為y=x+2，令x=0，則y=2，
∴A（0，2），
∵拋物線y=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)A（0，2），E（-1，0），
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y=x²+x+2．

（2）∵直線y=x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、點(diǎn)A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，
∴OC=，
又C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（，0）．

（3）拋物線y=x²+x+2與直線y=x+2交于A、B兩點(diǎn)，
令x²+x+2=x+2，
解得x₁=0，x₂=，
∴B（，）．
如答圖①所示，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
則D（，0），BD=，DP=6-=．
點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，且△MAB是直角三角形，有以下幾種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上，且BM⊥AB，如答圖①所示．
設(shè)M（m，0），則MD=-m．
∵BM⊥AB，BD⊥x軸，∴，
即，
解得m=，
∴此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上，且BM⊥AM，如答圖①所示．
設(shè)M（m，0），則MD=-m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，
∴，即，
化簡得：m²-m+=0，
解得：m₁=，m₂=，
∴此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0）；
（說明：此時的M點(diǎn)相當(dāng)于以AB為直徑的圓與x軸的兩個交點(diǎn)）
③當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，且BM⊥AM，如答圖②所示．
此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
④當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，且BM′⊥AB，如答圖②所示．
設(shè)M′（0，m），則AM=2-=，BM=，MM′=-m．
易知Rt△ABM∽Rt△BM′M，
∴，即，
解得m=，
∴此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．
綜上所述，除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形．
符合條件的點(diǎn)M有5個，其坐標(biāo)分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．
點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)等重要知識點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問，所求的M點(diǎn)有5個（x軸上有3個，y軸上有2個），需要分情況討論，不要遺漏．