Question

如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且AF平分∠DAE．
（1）求證：AE=DF+BE；
（2）若AE=5，AF=6，求正方形ABCD的周長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長CB到G，使BG=DF，連接AG，易證△ADF≌△ABG，得∠5=∠G，∠1=∠3，進而證明∠FAB=∠EAG，進而證明AE=EB+BG=EB+DF；
（2）由（1）可知AE=EG=5，AF=AG=6，作EH⊥AG垂足為H，利用勾股定理和等腰三角形的三線合一求得EH，進一步利用三角形AEG的面積求得AB解決問題．

解答：（1）證明：延長CB到G，使BG=DF，連接AG（如圖）

∵AD=AB，∠D=∠ABG=90°，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴∠5=∠G，∠1=∠3，DF=BG，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FAB=∠EAG，
∵CD∥AB，
∴∠5=∠FAB=∠EAG，
∴∠EAG=∠G，
∴AE=EB+BG=EB+DF．

（2）解：如圖，

作EH⊥AG垂足為H，
∵AE=EG=5，AF=AG=6，
∴EH=

52-32

=4
S△AEG=

1

2

×AG×EH=

1

2

×EG×AB
即6×4=5×AB，
∴AB=4.8，
∴正方形ABCD的周長=4.8×4=19.2．

點評：本題考查了正方形角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積以及勾股定理等知識點．