Question

【題目】如圖1，已知，，且，．

（1）求證：；

（2）如圖2，若，，折疊紙片，使點與點重合，折痕為，且．

①求證：；

②點是線段上一點，連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，點在整個運動過程中用時最少多少秒？

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②.

【解析】

（1）直接利用AAS，即可證明結(jié)論成立；

（2）①由折疊的性質(zhì)，得到BE=DE，EF平分∠BED，由DE⊥BC，得到∠DBE=∠ACB=∠FEB=45°，即可得到EF∥AC；

②當點Q是EF與BD的交點時，點在整個運動過程中用時最少；連接AQ、AD，可得△ADQ是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BD，然后得到BQ=DQ=，然后求出AQ，即可求出點P運動所用的時間.

解：（1）由題意，

∵，，BC=CB，

∴（AAS）；

（2）①如圖：

由折疊的性質(zhì)，得到BE=DE，∠BEF=∠DEF，

∵DE⊥BC，

∴∠BED=90°，

∴∠BEF=∠DEF=∠DBE=∠BDE=45°；

∵，

∴∠ACB=∠DBE，

∴∠ACB=∠DBE=∠FEB=45°，

∴EF∥AC；

②如圖，連接AQ交BC于點H，連接AD，當點Q是EF與BD的交點時，點在整個運動過程中用時最少；

此時AQ∥DE，AD∥BC，

∴∠ADQ=45°，∠DAQ=90°，

∴△ADQ是等腰直角三角形，

∴AD=AQ，

∵點Q時BD中點，

∴點H是BE的中點，

∵BE=DE=，，

∴，

∴，，

∴點P運動所用的時間為：

（秒）.