Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)BP=x，若能在AC邊上找到一點(diǎn)Q，使∠BQP=90°，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=5，由于∠BQP=90°，根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)Q在以PB為直徑的圓⊙M上，而點(diǎn)Q在AC上，則有AC與⊙M相切于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得MQ⊥AC，MQ=BM=

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2

x，然后證明Rt△CMQ∽R(shí)t△CAB，再利用相似比得到

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x：3=（4-

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x）：5，最后解方程即可．

解答：解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠BQP=90°，
∴點(diǎn)Q在以PB為直徑的圓⊙M上，
∵點(diǎn)Q在AC上，
∴AC與⊙M相切于點(diǎn)Q，
連結(jié)MQ，如圖，則MQ⊥AC，MQ=BM=

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x，
∵∠QCM=∠BCA，
∴Rt△CMQ∽R(shí)t△CAB，
∴QM：AB=CM：AC，即

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x：3=（4-

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x）：5，
∴x=3．
當(dāng)P與C重合時(shí)，BP=4，
∴BP=x的取值范圍是：3≤x≤4，
故答案為：3≤x≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．