Question

【題目】如圖所示，將矩形紙片折疊，使得頂點與邊上的動點重合（點不與點、重合），為折痕，點、分別在邊、上．連結(jié)、、，其中，與相交于點．過點、、．

（1）若，求證：；

（2）隨著點的運動，若與相切于點，又與相切于點，且，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得出，證出，由折疊的性質(zhì)得出，由證明，即可得出結(jié)論；

（2）連接并延長交于，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：垂直平分，可得：，為的切線，可得：，又，可得：，，可證：，，，由為的切線，可得：，故：，，設(shè)的長為，則，，可求出的半徑，在中，運用勾股定理可將的長求出，即可得出的長．

（1）證明：四邊形是矩形，

，

，

，

，

，

由折疊的性質(zhì)得：垂直平分，

，

在和中，，

，

；

（2）解：是的切線，

，

，

，

，

由折疊的性質(zhì)得：垂直平分，

，

，

，

設(shè)，則，

，

連接并延長交于，如圖2所示：

是的切線，

，

為矩形，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，即，

．