Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=60°，BC=4

3

，當(dāng)點(diǎn)P在

BC

上由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，弦AP的中點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為（　�。�

• A、

  4 3

  3

  π
• B、

  4

  3

  π
• C、

  8

  3

  π
• D、2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡,等腰三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,圓周角定理,弧長的計(jì)算,特殊角的三角函數(shù)值

專題：計(jì)算題

分析：連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)Q，連接QC，如圖1，在直角△BCQ中，利用三角函數(shù)可求出直徑BQ的長；連接AO，OP，OE，取OA的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M，F(xiàn)N，如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=2，從而得到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)F為圓心，2為半徑的圓弧

MN

，然后只需運(yùn)用圓弧長公式就可求出弦AP的中點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長．

解答：解：連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)Q，連接QC，如圖1，

∵BQ是⊙O的直徑，
∴∠BCQ=90°．
∵∠Q=∠A=60°，BC=4

3

．
∴sinQ=

BC

BQ

=

4 3

BQ

=

3

2

．
∴BQ=8．
連接AO，OP，OE，取OA的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M，F(xiàn)N，如圖2，

∵OA=OP，點(diǎn)E為AP的中點(diǎn)，
∴OE⊥AP．
∵點(diǎn)F為OA的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

OA．
∵OA=

1

2

×8=4，
∴EF=2．
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)F為圓心，2為半徑的圓弧

MN

．
∵∠MFN=2∠MAN=120°（圓周角定理），
∴

MN

的長為

120π×2

180

=

4π

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道選擇題，考查的知識(shí)面比較廣，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、特殊角的三角函數(shù)值、圓周角定理、圓弧長公式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，是一道好題．