Question

在Rt△ABC中，DE垂直平分斜邊AB于點(diǎn)D，且點(diǎn)E為AB的下方，DE=

1

2

AB．
（1）求證：∠ACE=45°；
（2）若DE⊥AB，且E在AD上方，其他條件不變，∠ACE=45°還成立嗎，請(qǐng)證明．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)AD=BD=CD=ED，確定A、E、B、C四點(diǎn)共圓，D為圓的圓心，根據(jù)圓周角、圓心角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；
（2）同理先確定A、E、B、C四點(diǎn)共圓，D為圓的圓心，根據(jù)圓周角的性質(zhì)即可求得∠ACE=135°．

解答：（1）證明：如圖1，連接CD，
∵在Rt△ABC中，AD=DB，
∴CD=

1

2

AB，
∵DE=

1

2

AB．
∴A、E、B、C四點(diǎn)共圓，D為圓的圓心，
∵

AE

所對(duì)的圓周角是∠ACE，所對(duì)的圓心角是∠ADE，
∴2∠ACE=∠ADE=90°，
∴∠ACE=45°．
（2）不成立，
證明：如圖2，，連接CD，
∵在Rt△ABC中，AD=DB，
∴CD=

1

2

AB，
∵DE=

1

2

AB．
∴A、E、B、C四點(diǎn)共圓，D為圓的圓心，
∵

AE

所對(duì)的圓周角是∠ACE，DE⊥AB，
∴

AE

為90°，
∴

ABE

為270°，
∴∠ACE=135°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，作出輔助線，證得四點(diǎn)到D的距離相等是本題的關(guān)鍵．