Question

【題目】如圖已知為⊙的直徑，切⊙于點(diǎn)，弦于點(diǎn)，連結(jié).

（1）探索滿(mǎn)足什么條件時(shí)，有，并加以證明.

（2）當(dāng)，，，求△面積.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)AC平分∠BAD時(shí)，有AD⊥CD，理由見(jiàn)解析；（2）△OCF面積為12cm2

【解析】

（1）連接OC，由等邊對(duì)等角得到∠OCA =∠OAC．再由角平分線(xiàn)定義得到∠OAC =∠DAC，等量代換得到∠OCA = ∠DAC ，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，得到 OC∥AD．由切線(xiàn)的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）先證明AC平分∠BAD，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到CD =CE，由垂徑定理得到CF的長(zhǎng)．在Rt△OEC中，由勾股定理得到OE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)AC平分∠BAD時(shí)，有AD⊥CD．證明如下：

連接OC．

∵ OA = OC，∴ ∠OCA =∠OAC．

∵AC平分∠BAD，∴ ∠OAC =∠DAC，∴ ∠OCA = ∠DAC ，∴ OC∥AD．

∵ CD切⊙O于C點(diǎn)，∴ OC⊥CD，∴∠OCD=90°．

∵OC∥AD，∴∠ADC=180°－∠OCD=90°，∴AD⊥CD．

(2) 連接OF．

∵ CD切⊙O于C點(diǎn)，∴ OC⊥CD．

∵ AD⊥CD，∴ OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC

∵ OA = OC，∴ ∠OCA =∠OAC，∴∠OAC =∠DAC，∴ AC平分∠BAD，∴ CD =CE．

∵ OA =5，CD =4，∴OC=OA=5，CE=4．

∵CF⊥AB ，∴CF = 2CE= 2×4=8，OE===3．

△OCF面積=CF×OE÷2= 8×3÷2=12．

故△OCF面積為12cm2．