Question

如圖，平面直角坐標系中有一矩形ABCO（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為（0，6）；將BCD沿BD折疊（D點在OC邊上），使C點落在OA邊的E點上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD的點F上．
（1）直接寫出∠ABE、∠CBD的度數(shù)，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過F點作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點為H，若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、H、D三點，求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）若點P是矩形內(nèi)部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B、D點），過點P作PN⊥BC分別交BC和BD于點N、M，設(shè)h=PM-MN，試求出h與P點橫坐標x的函數(shù)解析式，并畫出該函數(shù)的簡圖，分別寫出使PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠CBD、∠DBE、∠EBA都相等，因此∠ABE=∠CBD=30°；
在Rt△ABE中，已知了∠ABE=30°，而AB=OC=6，由此可求出BE即BC的長，即可得到B點的坐標；在Rt△BCD中，已知∠CBD的度數(shù)及BC的長，通過解直角三角形可求出CD的長，也就得到了D點的坐標，進而可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（2）由于∠AEB=∠BEF=60°，易求得∠FEG=60°；在Rt△BEF中，BE的長在（1）中已求得，∠EBF=30°，即可求出EF的長；進而可在Rt△FEG中通過解直角三角形求出FG、GE的值，即可得到H點的坐標，進而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)直線BD和拋物線的解析式分別表示出M、P的縱坐標，進而可得到MN、PM的表達式，也就能得到關(guān)于h、x的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)來判斷出PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范圍．
解答：解：（1）∠ABE=∠CBD=30°
在△ABE中，AB=6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B（，6），D（0，2）
設(shè)BD所在直線的函數(shù)解析式是y=kx+b；
，
∴；
所以BD所在直線的函數(shù)解析式是；

（2）∵EF=EA=ABtan30°=，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°；
又∵FG⊥OA，
∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=，OG=OA-AE-GE=
又H為FG中點
∴H（，）（4分）
∵B（，6）、D（0，2）、H（，）在拋物線y=ax²+bx+c圖象上

∴
∴拋物線的解析式是；

（3）∵MP=
MN=6-
h=MP-MN=
由
得
該函數(shù)簡圖如圖所示：
當0＜x＜時，h＜0，即PM＜MN
當x=時，h=0，即PM=MN
當＜x＜時，h＞0，即PM＞MN．
點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．