【題目】如圖,在△ABC中,∠A=45°.以AB為直徑的⊙O與BC相切于B,交AC于點D,CO的延長線交⊙O于點E,過點作弦EF⊥AB,垂足為點G.
(1)求證:①EF∥CB,②AD=CD;
(2)若AB=10,求EF的長.
【答案】
(1)證明:①連接BD.
∵BC是⊙O的切線,
∴AB⊥BC,
∵EF⊥AB,
∴EF∥AB.
②∵∠ABC=90°,∠A=45°,
∴∠A=∠ACB=45°,
∴BA=BC,
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AC,
∴AD=DC
(2)解:∵AB=CB=10,
∴OE=OB=5,
在Rt△BOC中,OC= =5 ,
∵EG∥BC,
∴ = ,
∴ = ,
∴EG=2 ,
∵OA⊥EF,
∴EG=GF=2 ,
∴EF=4 .
【解析】①已知BC是⊙O的切線及EF⊥AB,易證得EF∥AB;’②已知AB是圓的直徑,因此連接BD,證得∠ADB=90°,再證明BA=BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論。
(2)在Rt△BOC中利用勾股定理求出OC的長,由EG∥BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理,得出對應(yīng)線段成比例,建立方程求出EG的長,再利用垂徑定理即可解決問題。
【考點精析】利用平行線的性質(zhì)和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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【題目】完成下面的證明過程:
如圖所示,直線AD與AB,CD分別相交于點A,D,與EC,BF分別相交于點H,G,已知∠1=∠2,∠B=∠C.
求證:∠A=∠D.
證明:∵∠1=∠2,(已知)∠2=∠AGB( )
∴∠1= ( )
∴EC∥BF( )
∴∠B=∠AEC( )
又∵∠B=∠C(已知)
∴∠AEC= ( )
∴ ( )
∴∠A=∠D( )
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【題目】如圖:在四邊形ABCD中,AD∥BC,且BC=12cm,AD=18cm,P、Q分別從A、C同時出發(fā),P以2cm/s的速度由A向D運動,Q以4cm/s的速度由C向B運動,問當多少秒時,直線QP將四邊形ABCD截出一個平行四邊形.
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【題目】如圖,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后得到△EDC,此時點D在AB邊上,斜邊DE交AC邊于點F,則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為( )
A.30,2
B.60,2
C.60,
D.60,
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【題目】在平面直角坐標系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點A的坐標為(1,0),點D的坐標為(0,3).延長CB交x軸于點A1 , 作正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點A2 , 作正方形A2B2C2C1…,按這樣的規(guī)律進行下去,第4個正方形的邊長為 .
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【題目】如圖,在方格紙中,每個小正方形的邊長為1個單位長度,正方形ABFG和FCDE的頂點均和小正方形的頂點重合.
(1)建立平面直角坐標系,使得B,C的坐標分別為(0,0),(4,0),并寫出點A的坐標;
(2)直接寫出正方形FCDE的邊長;
(3)連接EG,直接比較三角形BCF和三角形GEF的面積大小 (用“大于”,“小于”,“等于”作答)
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【題目】一個直立的火柴盒在桌面上倒下,啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗證方法.如圖,火柴盒的一個側(cè)面倒下到的位置,連接,設(shè)、、,請利用四邊形的面積驗證勾股定理.
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【題目】如圖,一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向,與燈塔P的距離為30海里的A處,輪船沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處,則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為( )
A.60海里
B.45海里
C.20 海里
D.30 海里
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