Question

直線y=x-2與拋物線y=ax²+bx+c相交于（2，m），（n，3）兩點，拋物線的對稱軸是直線x=3，
（1）求拋物線的關(guān)系式和頂點坐標(biāo)；
（2）將此拋物線水平平移幾個單位，可使拋物線頂點在直線y=x-2上？

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：（1）把（2，m），（n，3）分別代入y=x-2可求出m和n，即可得到點（2，0）、（5，3）在拋物線y=ax²+bx+c上，利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（4，0），則可設(shè)交點式y(tǒng)=a（x-2）（x-4），然后把（5，3）代入可計算出a=1，即可得到拋物線解析式為y=x²-6x+8，再配成頂點式y(tǒng)=（x-3）²-1，于是得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，-1）；
（2）由于頂點水平平移，縱坐標(biāo)不變，通過計算得到點（1，-1）在直線y=x-2上，而頂點（3，-1）向左平移2個單位得到點（1，-1），于是將拋物線y=x²-6x+8向左平移2個單位，可使拋物線頂點在直線y=x-2上．

解答：解：（1）把（2，m），（n，3）分別代入y=x-2得m=2-2=0，n-2=3，解得n=5，即點（2，0）、（5，3）在拋物線y=ax²+bx+c上，
由于拋物線的對稱軸是直線x=3，則拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），
把（5，3）代入得a•3•1=3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8，
由于y=（x-3）²-1，
所以拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，-1）；
（2）當(dāng)y=-1時，x-2=-1，解得x=1，即點（1，-1）在直線y=x-2上，
把頂點（3，-1）向左平移2個單位得到點（1，-1），這樣拋物線的頂點在直線y=x-2上，
所以將拋物線y=x²-6x+8向左平移2個單位，可使拋物線頂點在直線y=x-2上．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．