Question

已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，m），點(diǎn)B（n，0），m、n滿足（m-3）²=-

n-4

；
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）如圖1，E為第二象限內(nèi)直線AB上一點(diǎn)，且滿足S_△AOE=

1

3

S_△AOB，求E的坐標(biāo)．
（3）如圖2，平移線段BA至OC，B與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，A與C對(duì)應(yīng)，連AC．E為BA的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F點(diǎn)．若∠ABO+∠OEB=α，請(qǐng)?jiān)趫D2中將圖形補(bǔ)充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出m、n的值，然后寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，然后利用三角形的面積列式求出a的值，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后求解即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥OC，AC∥OB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=

1

2

∠CAE，∠EOF=

1

2

∠COE，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，m-3=0，n-4=0，
解得m=3，n=4，
所以，A（0，3）B（4，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，
∵S_△AOE=

1

3

S_△AOB，
∴

1

2

×3（-a）=

1

3

×

1

2

×3×4，
解得a=-

4

3

，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

b=3 4k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
所以，直線AB的解析式為y=-

3

4

x+3，
當(dāng)x=-

4

3

時(shí)，y=-

3

4

×（-

4

3

）+3=1+3=4，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

4

3

，4）；

（3）由平移的性質(zhì)，AB∥OC，AC∥OB，
∴∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，
∵OF平分∠COE，AF平分∠EAC，
∴∠EAF=

1

2

∠CAE，∠EOF=

1

2

∠COE，
由三角形的內(nèi)角和定理，∠OEB+∠EAF=∠F+∠EOF，
∠OEB+

1

2

∠CAE=∠F+

1

2

∠COE，
∴∠F=∠OEB+

1

2

∠CAE-

1

2

∠COE=∠OEB+

1

2

∠CAE-

1

2

∠OEB=

1

2

（∠CAE+∠OEB），
∵∠ABO+∠OEB=α，
∴∠F=

α

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，主要利用了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理列出方程．