Question

類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．

（2）小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形．她的猜想正確嗎？請說明理由．

（3）如圖2，小紅作了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結AA′，BC′．小紅要使得平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段B′B的長）？

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）利用“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可，

（2）利用平行四邊形的判定和“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可，

（3）利用“等鄰邊四邊形”的定義和平移的性質（對應線段平行且相等），分四種情況（AA′=AB，AA′=A′C′，A′C′=BC′，BC′=AB）進行討論計算即可．

【解答】（1）解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB

（2）解：小紅的結論正確．

理由如下：∵四邊形的對角線互相平分，

∴這個四邊形是平行四邊形，

∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，

∴這個四邊形有一組鄰邊相等，

∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形，

（3）解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC=，

∵將Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，

∴BA′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，

（I）如圖1，當AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2，

（II）如圖2，當AA′=A′C′時，BB′=AA′=AC′=，

（III）當AC′=BC′=時，如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′=∠ABC=45°

∴∠BB′D=∠ABB′=45°，

∴B′D=BD，

設B′D=BD=x，則C′D=x+1，BB′=x

∵根據在Rt△BC′D中，BC′²=C′D²+BD²即x²+（x+1）²=5

解得：x=1或x=﹣2（不合題意，舍去）

∴BB′=，

（IV）當BC′=AB=2時，如圖4，與（III）方法同理可得：x=或x=，

x=或x=（舍去）

∴BB′=x=．

故應平移2或或或．

【點評】本題是四邊形的綜合題，利用“等鄰邊四邊形”的定義這個信息解決問題，涉及到了圖形的平移的性質，得出BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC，角的平分線的性質，由BB′平分∠ABC得到∠ABB′=∠ABC=45°，勾股定理，解題的關鍵是理解“等鄰邊四邊形”的定義的前提下，結合已學知識會用它．