Question

如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．
（1）請判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么．
（2）若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應具有怎樣的性質(zhì)？
（3）在（2）的條件下，若EF=2，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接四邊形的對角線，根據(jù)題目所給四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，可得四邊形對邊平行且相等，從而判斷平行四邊形；
（2）只要加對角線相等且互相垂直就可證明是正方形；
（3）在（2）的條件下可知四邊形ABCD的對角線互相垂直，對角線的乘積就是四邊形ABCD的面積．
解答：解：（1）∵E是AB的中點，H是AD的中點，
∴EH∥BD，EH=BD
∵F是BC的中點，G是CD的中點
∴GF∥BD，GF=BD
∴GFEH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）若加AC=BD且AC⊥BD，則四邊形EFGH會是正方形
在（1）的條件下，∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四邊形EFGH是菱形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC
∴∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是正方形

（3）在（2）的條件下若EF=2，則AC=BD=4且BD⊥AC，若四邊形對角線垂直的話，四邊形的面積可以是對角線乘積的一半．
則×4×4=8．
故四邊形ABCD的面積為8．
點評：本題考查平行四邊形的判定，正方形的判定以及如何求四變形的面積．