Question

如圖，P是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F．請判斷AP與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的判斷．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四邊形PFCE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得PC=EF，再利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=PC，從而得解．

解答：解：如圖，連接PC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，
又∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°，
∴四邊形PFCE為矩形，
∴PC=EF，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC ∠ABD=∠CBD PB=PB

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=EF．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．