Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）、B(2，0)、C(0，4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在y軸上找一點(diǎn)D，使得△BOD與△AOC相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若AC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，以A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑作圓，⊙A與y軸的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)過(guò)點(diǎn)E作⊙A的切線EG，交x軸于點(diǎn)G，請(qǐng)求出直線EG的解析式及G點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）⊙A與y軸的位置關(guān)系為相交，見(jiàn)解析；（4），G的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A（-3，0）、B(2，0)、C(0，4)，利用待定系數(shù)法求解即可.

（2）分△BOD∽△AOC和△BOD∽△COA兩種情況，分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，求出OD，即可得到所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）首先求出直線AC的解析式，得到E點(diǎn)坐標(biāo)，然后可求出AE的長(zhǎng)，再與AO作比較即可得出結(jié)果；

（4）由直線EG垂直于直線AC可設(shè)直線EG的解析式為：，代入E點(diǎn)坐標(biāo)即可求出解析式，易得G點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線的解析式經(jīng)過(guò)A（-3,0）、B（2,0）、C(0,4).

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵A（-3,0）、B（2,0）、C(0,4)，

∴OA=3，OC=4，OB=2,∠AOC=∠BOC=90°，

①當(dāng)△BOD∽△AOC時(shí)，

則 ，即，

∴OD=，

∴D的坐標(biāo)為：；

②當(dāng)△BOD∽△COA時(shí)，

則 ，即，

∴OD=

∴D的坐標(biāo)為：.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

（3）⊙A與y軸的位置關(guān)系為相交.

理由如下：

∵直線AC經(jīng)過(guò)A（-3,0）、C(0,4)

∴直線AC的解析式為

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，AC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，AE=.

∵AO=3，AE=，

∴AO<AE，

∴⊙A與y軸的位置關(guān)系為相交

（4）由題意知，直線EG垂直于直線AC，垂足為E，

設(shè)直線EG的解析式為：.

∵點(diǎn)在直線上

∴b，即直線EG的解析式為

令中y=0,則

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為.