Question

【題目】如圖，已知直線y=kx+6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第三象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）存在．P（，）．

（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，-）或（0，1）或（0，3）．

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

（2）先確定出點(diǎn)C坐標(biāo)，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，

（3）分三種情況計(jì)算，分別判斷△DAQ1∽△DOB，△BOQ2∽△DOB，△BOQ3∽△Q3EA，列出比例式建立方程求解即可．

試題解析：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，

∴k=﹣2，

∴y=﹣2x+6，

由y=﹣2x+6=0，得x=3

∴B（3，0）．

∵A為頂點(diǎn)

∴設(shè)拋物線的解析為y=a（x﹣1）2+4，

∴a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）存在．

當(dāng)x=0時(shí)y=﹣x2+2x+3=3，

∴C（0，3）

∵OB=OC=3，OP=OP，

∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí)，△POB≌△POC，

作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

∴∠POM=∠PON=45°．

∴PM=PN

∴設(shè)P（m，m），則m=﹣m2+2m+3，

∴m=，

∵點(diǎn)P在第三象限，

∴P（，）．

（3）①如圖，當(dāng)∠Q1AB=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，

∴E（0，4）

∵∠DA Q1=∠DOB=90°，∠AD Q1=∠BDO

∴△DAQ1∽△DOB，

∴，

∴DQ1=，

∴OQ1=，

∴Q1（0,）；

②如圖，

當(dāng)∠Q2BA=90°時(shí)，∠DBO+∠OBQ2=∠OBQ2+∠O Q2B=90°

∴∠DBO=∠O Q2B

∵∠DOB=∠B O Q2=90°

∴△BOQ2∽△DOB，

∴，

∴，

∴OQ2=，

∴Q2（0，-）；

③如圖，當(dāng)∠AQ3B=90°時(shí)，∠AEQ3=∠BOQ3=90°，

∴∠AQ3E+∠E AQ3=∠AQ3E+∠B Q3O=90°

∴∠E AQ3=∠B Q3O

∴△BOQ3∽△Q3EA，

∴，，

∴OQ32﹣4OQ3+3=0，

∴OQ3=1或3，

∴Q3（0，1）或（0，3）．

綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，-）或（0，1）或（0，3）．