Question

【題目】圖形變換中的數(shù)學(xué)，問題情境：在課堂上，興趣學(xué)習(xí)小組對(duì)一道數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD．探索發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖①，BC與BD的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）如圖①，CD與AB的數(shù)量關(guān)系是 ；并說明理由．

猜想驗(yàn)證：

（3）如圖②，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想BF，BP，BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

拓展延伸：

（4）若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（3）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D③中補(bǔ)全圖象，并直接寫出BF、BP、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）BC=BD；（2）CD=AB；（3）BF+BP＝BD，證明見解析；（4）補(bǔ)圖見解析，BF＝BD+BP．

【解析】

（1）根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，即可得到答案；

（2）根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，證明△DBC是等邊三角形，即可得到答案；

（3）同（2）的方法得出BC=BD進(jìn)而得出△BCD是等邊三角形，進(jìn)而判斷出△DCP≌△DBF，得出CP=BF即可得出結(jié)論；

（4）同（3）的方法得出BC=BD進(jìn)而得出△BCD是等邊三角形，進(jìn)而判斷出△DCP≌△DBF，得出CP=BF即可得出結(jié)論；

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴，

∵點(diǎn)D時(shí)AB的中點(diǎn)，

∴，

∴BC=BD；

故答案為：BC=BD；

（2）CD=AB；

理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠CBA＝60°，BC＝AB，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴BC＝BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴CD=BC，

∴BC＝AB，

∴CD=AB；

故答案為：CD＝AB；

（3）BF+BP＝BD，

理由：由（2）知 △DBC是等邊三角形，

∴∠CDB＝60°，DC＝DB，

∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，

∴∠PDF＝60°，DP＝DF，

∴∠CDB﹣∠PDB＝∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP＝∠BDF，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP＝BF，

∵CP+BP＝BC，

∴BF+BP＝BC，

∵BC＝BD，

∴BF+BP＝BD；

（4）如圖③，BF=BD+BP，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC=AB，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴BC=BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中，

，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP=BC+BP，

∴BF=BC+BP，

∵BC=BD，

∴BF=BD+BP．