Question

【題目】如圖，一個(gè)正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與一個(gè)一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象相交于點(diǎn)A（3，4），且一次函數(shù)y2的圖像與y軸相交于點(diǎn)B（0，—5），與x軸交于點(diǎn)C．

（1）判斷△AOB的形狀并說明理由；

（2）請(qǐng)寫出當(dāng)y1>y2時(shí)x的取值范圍；

（3）若將直線AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使△AOC的面積為8，求旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式；

（4）在x軸上求一點(diǎn)P使△POA為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）△AOB是等腰三角形，證明詳見解析；（2）x＜3；（3）y=-4x+16或y=；（4） P（5,0）或（-5,0）或（6,0）或（）.

【解析】

（1）根據(jù)A的坐標(biāo)求得OA和OB的長度即可判斷；

（2）根據(jù)圖象當(dāng)y1＞y2時(shí)即y1的函數(shù)值大，即對(duì)相同的x的值，y1對(duì)應(yīng)的圖象的點(diǎn)在上邊，根據(jù)圖象即可寫出；

（3）首先根據(jù)三角形的面積公式求得OC的長，即可得到C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；

（4）已知等腰三角形POA中的一邊OA，分1）OA是底邊；2）OA是腰，且A是頂角的頂點(diǎn)；3）OA是腰，且O是頂角的頂點(diǎn)．三種情況進(jìn)行討論．

解：（1）OA==5，則OA=OB，

∴△AOB是等腰三角形；

（2）根據(jù)圖象可以得到：當(dāng)y1＞y2時(shí)x＜3；

（3）設(shè)OC=x，則x×4=8，解得：x=4，

則C的坐標(biāo)是：（-4，0）或（4，0）．

設(shè)直線AB的解析式是：y=kx+b，當(dāng)C的坐標(biāo)是：（-4，0）時(shí)，根據(jù)題意得：

，

解得：，

則直線的解析式是：y=x+；

當(dāng)C的坐標(biāo)是（4，0）時(shí)，根據(jù)題意得：

，

解得：，

則直線的解析式是：y=-4x+16；

（4）把（3，4）代入y1=k1x得到：3k1=4，

解得：k1=，

當(dāng)OA是底邊時(shí)，OA的中點(diǎn)是（，2），設(shè)過OA的中點(diǎn)且與OA垂直的直線的解析式是：y=-x+b，

根據(jù)題意得：b=，

直線的解析式是：y=-x+，

當(dāng)y=0時(shí)，x=，

則P的坐標(biāo)是（，0）；

當(dāng)OA是腰，O是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，OP=OA=5，則P的坐標(biāo)是（5，0）或（-5，0）；
當(dāng)OA是腰，A是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AP=AO，則P與O關(guān)于x=3對(duì)稱，則P的坐標(biāo)是（6，0）．
則P的坐標(biāo)是：（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．