Question

如圖，直線l與⊙O相切于A，弦BC交半徑OA于D，GB⊥BC交l于G，若OA=R，AD=a，AC=b，則DG=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：作直徑AE，連結(jié)CE、AB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)，由直線l與⊙O相切于A得到∠DAG=90°，而GB⊥BC，則∠DBG=90°，根據(jù)圓周角定理可得點(diǎn)B和點(diǎn)A在以DG為直徑的圓上，即點(diǎn)B、D、A、G四點(diǎn)共圓，所以∠DAA=∠DGA，加上∠CBA=∠E，則∠DGA=∠E，然后證明Rt△DAG∽R(shí)t△ACE，再利用相似比可計(jì)算出DG．

解答：解：作直徑AE，連結(jié)CE、AB，如圖，
∵直線l與⊙O相切于A，
∴OA⊥AG，
∴∠DAG=90°，
∵GB⊥BC，
∴∠DBG=90°，
∴點(diǎn)B和點(diǎn)A在以DG為直徑的圓上，即點(diǎn)B、D、A、G四點(diǎn)共圓，
∴∠DBA=∠DGA，
∵∠CBA=∠E，
∴∠DGA=∠E，
∵AE為直徑，
∴∠ACE=90°，
∴Rt△DAG∽R(shí)t△ACE，
∴

DG

AE

=

DA

AC

，即

DG

2R

=

a

b

，
∴DG=

2Ra

b

．
故答案為

2Ra

b

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．