Question

已知：如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（6，0），（0，2）．點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線y=-

1

2

x+b交折線O-A-B于點(diǎn)E．

（1）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形O′A′B′C′，C′B′分別交CB，OA于點(diǎn)D，M，O′A′分別交CB，OA點(diǎn)N，E．求證：四邊形DMEN是菱形；
（3）問(wèn)題（2）中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（6，0），（0，2），即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把A、B、C的坐標(biāo)代入解析式求出b，即可求出答案；
（2）首先證明四邊形DMEN是平行四邊形，再證明鄰邊ND=NE即可；
（3）過(guò)DH⊥OE于H，根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出OQ、OE，求出DH、HE，設(shè)ME=x，根據(jù)勾股定理求出x即可．

解答：解：（1）∵矩形OABC中，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（6，0），（0，2），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）．
若直線y=-

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2），則b=2；
若直線y=-

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），則b=3；
若直線y=-

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（6，2），則b=5．
①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，即2＜b≤3時(shí)，（如圖）
∵點(diǎn)E在直線y=-

1

2

x+b上，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2b，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2b，0）．
∴S=

1

2

•2b•2=2b．
②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí)，即3＜b＜5時(shí)，（如圖）
∵點(diǎn)D，E在直線y=-

1

2

x+b上
當(dāng)y=2時(shí)，x=2b-4；
當(dāng)x=6時(shí)，y=b-3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2b-4，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，b-3）．
∴S=S_矩形OABC-S_△COD-S_△OAE-S_△DBE=6×2-

1

2

(2b-4)•2-

1

2

(b-3)•6-

1

2

[6-(2b-4)][2-(b-3)]=-b²+5b．
綜上可得：S=

2b(2＜b≤3) -b2+5b(3＜b＜5).

（2）證明：如圖．
∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形
∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，
即DN∥ME，DM∥NE．
∴四邊形DMEN是平行四邊形，且∠NDE=∠DEM．
∵矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為四邊形O′A′B′C′
∴∠DEM=∠DEN．
∴∠NDE=∠DEN．
∴ND=NE．
∴四邊形DMEN是菱形．

（3）解：y=-

1

2

x+b
當(dāng)x=0時(shí)，y=b，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2b，
∴OQ=b，OE=2b
過(guò)DH⊥OE于H，
∴DH=2，
∵∠QOE=90°，DH⊥OA，
∴DH∥OQ，
∴△DHE∽△QOE，
∴

QO

DH

=

OE

HE

，
即

b

DH

=

2b

HE

，
∴HE=2DH=4，
設(shè)DM=ME=x，
在△DHM中，由勾股定理得：2²+（4-x）²=x²，
解得：x=2.5，
故答案為：2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求直線的解析式，平行線的性質(zhì)、菱形的判定，平行四邊形的判定，角平分線性質(zhì)，勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用．綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．