Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△ABC中，一邊的長為5，其余兩邊的長是該方程的兩個實數(shù)根，當△ABC是等腰三角形時，求k的值及△ABC的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,一元二次方程的解,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先求出△的值，再根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，△ABC其余兩邊的長是該方程的兩個實數(shù)根，得出△ABC的腰長為5，再把5的值代入求出k的值，最后根據(jù)周長公式即可求出答案．

解答：解：（1）∵△=[-（2k-1）]²-4×1×（k²-k-2）=9＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，△ABC其余兩邊的長是該方程的兩個實數(shù)根，
∴△ABC其余兩邊的長不相等，
∵△ABC一邊的長為5，△ABC是等腰三角形，
∴△ABC的腰長為5，
∴方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0有一個根是5，
∴5²-5（2k-1）+k²-k-2=0，
∴k₁=4，k₂=7，
當k=4時，方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0變形為x²-7x+10=0，該方程的兩個實數(shù)根是x₁=2，x₂=5，△ABC的周長是5+5+2=12．
當k=7時，方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0變形為x²-13x+40=0，該方程的兩個實數(shù)根是x₁=8，x₂=5，△ABC的周長是5+5+8=18．

點評：本題考查了一元二次方程的解和根的判別式以及等腰三角形性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出△ABC其它兩個邊的長．