【題目】如圖,△ABC中,點O是AC邊上的一個動點,過點O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)判斷OE與OF的大小關(guān)系?并說明理由?
(2)當(dāng)點O在邊AC上運動時,四邊形BCFE會是菱形嗎?若是,請證明;若不是,則說明理由;
(3)當(dāng)點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并說出你的理由.
【答案】(1)OE=OF,證明見解析;(2)四邊形BCFE不可能是菱形,理由見解析;(3)當(dāng)點O運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形,理由見解析.
【解析】分析:(1)OE=OF,利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義證得∠2=∠3,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OE=OC,同理可得OC=OF,即可得OE=OF;(2)四邊形BCFE不可能是菱形,若四邊形BCFE為菱形,則BF⊥EC,而由(1)可知FC⊥EC,這與在同一平面內(nèi)過同一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾;(3)當(dāng)點O運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形,先證明四邊形AECF為平行四邊形,再證明∠ECF=90°,根據(jù)有一個角為直角的平行四邊形是矩形即可證得結(jié)論.
詳解:
(1)OE=OF.
證明如下:
∵CE是∠ACB的平分線,
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可證OC=OF.
∴OE=OF.
(2)四邊形BCFE不可能是菱形,若四邊形BCFE為菱形,則BF⊥EC,
而由(1)可知FC⊥EC,在平面內(nèi)過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線.
(3)當(dāng)點O運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形.
理由如下:
∵O為AC中點,
∴OA=OC,
∵由(1)知OE=OF,
∴四邊形AECF為平行四邊形;
∵∠1=∠2,∠4=∠5,∠1+∠2+∠4+∠5=180°,
∴∠2+∠5=90°,即∠ECF=90°,
∴AECF為矩形
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【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是BD延長線上的點,且△ACE是等邊三角形.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形(2)若∠AED=2∠EAD,求證:四邊形ABCD是正方形.
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【題目】如圖,有一個直角三角形紙片,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,你能求出CD的長嗎?若能,請給出求解過程.
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【題目】計算:
(1) -26-(-15) (2)(+7)+(-4)-(-3)-14
(3)(-3)×÷(-2)×(-) (4)-(3-5)+32×(-3)
(5)(﹣+﹣+)÷ (6)- 32 -(﹣2)2+1.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,BC與⊙O相交于點D,點E在⊙O上,且DE=DA,AE與BC相交于點F.
(1)求證:FD=DC;
(2)若AE=8,DE=5,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC交⊙O于點D,DE⊥AC于點E,要使DE是⊙O的切線,還需補充一個條件,則補充的條件不正確的是( )
A.DE=DO
B.AB=AC
C.CD=DB
D.AC∥OD
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【題目】某檢修小組從地出發(fā),在東西向的馬路上檢修線路,如果規(guī)定向東行駛為正,向西行駛為負(fù),一天中七次行駛紀(jì)錄如下.(單位:)
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 |
求收工時,檢修小組在地的哪個方向?距離地多遠(yuǎn)?
在第幾次紀(jì)錄時距地最遠(yuǎn)?
若汽車行駛每千米耗油升,問從地出發(fā),檢修結(jié)束后再回到地共耗油多少升?
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【題目】計算:
(1) (2-3)÷; (2) (-)2+2×;
(3) ; (4) (-2)×-4;
(5)(-1)(+1)-(-)-2+|1-|-(π-2)0+;
(6).
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