Question

如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且

OB

OC

=

1

2

．
（1）求B點坐標和k值；
（2）若點A（x，y）是直線y=kx-1上在第一象限內的一個動點，當點A在運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）探究：
①當A點運動到什么位置時，△AOB的面積為1，并說明理由；
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的所有P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OC=1求出B點坐標，再利用待定系數(shù)法求出k值；
（2）利用把△AOB的面積表示出來，在根據(jù)x與y之間的關系代入整理；
（3）①代入求值即可，同時在查找等腰三角形的滿足P點的坐標時要根據(jù)等腰三角形的性質查找；
②根據(jù)點A的坐標利用勾股定理列式求出AO的長，再分OA=AP，AO=P₁O，AO=OP₂，AP₃=OP₃四種情況分別求解即可．

解答：解：（1）∵y=kx-1與y軸相交于點C，
∴OC=1；
∵

OB

OC

=

1

2

，
∴OB=

1

2

；
∴B點坐標為：（

1

2

，0）；
把B點坐標為：（

1

2

，0）代入y=kx-1得：k=2；

（2）∵S=

1

2

×OB|y|=，y=kx-1，
∴S=

1

2

×

1

2

（2x-1）；
∴S=

1

2

x-

1

4

；

（3）①當S=1時，

1

2

x-

1

4

=1，
∴解得：x=

5

2

，y=2x-1=4；
∴A點坐標為（

5

2

，4）時，△AOB的面積為1；

②存在．
當OA=AP時，∵A（

5

2

，4），∴P（5，0），
當AO=P₁O時，AO=

( 5 2 )2+42

=

89

2

，
∴P₁（-

89

2

，0），
當AO=OP₂時，P₂（

89

2

，0），
當AP₃=OP₃時，可得出AO的垂直平分線所在直線為：y=-

1

2

x+

21

8

，
∴P₃（

21

4

，0），
綜上所述，滿足條件的所有P點坐標為：P（5，0），P₁（-

89

2

，0），P₂（

89

2

，0），P₃（

21

4

，0）．

點評：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩函數(shù)交點坐標求法，等腰三角形的性質，以及坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．