Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點，與x軸相交于點E（8，0），拋物線的頂點A在第四象限，點A到x軸的距離AB=4，點P（m，0）是線段OE上一動點，連結(jié)PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，過點C作y軸的平行線交x軸于點G，交拋物線于點D，連結(jié)BC和AD．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）當以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),作圖-旋轉(zhuǎn)變換

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）根據(jù)題意先求得A的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）通過三角形全等求得PG=AB，CG=PB，分類討論P在B點的左邊與右邊，從而求得C的坐標；
（3）分類討論點P在OB上時、OE上時，把C的橫坐標代入拋物線的解析式求得D的坐標，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出等式，解這個方程即可求得m的值，進而求得P的坐標；

解答：解：（1）由題意可知：A（4，-4），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點、點E（8，0 ）和A（4，-4），則

c=0 64a+8b+c=0 16a+4b+c=-4

，
解得：

a= 1 4 b=-2 c=0

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-2x．

（2）∵∠APC=90°
∴∠APB+∠CPG=90°
∵AB⊥PE
∴∠APB+∠PAB=90°
∴∠CPG=∠PAB 
∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA
∴△ABP≌△PGC        
∴PB=CG，AB=PG=4                                          
∵P（m，0），OP=m，且點P是線段OE上的動點
∴PB=CG=|4-m|，OG=|m+4|
①如圖1，當點P在點B左邊時，點C在x軸上方，
m＜4，4-m＞0，PB=CG=4-m
∴C（m+4，4-m）  
②如圖2，當點P在點B右邊時，點C在x軸下方，
m＞4，4-m＜0，
∴PB=|4-m|=-（4-m）=m-4
∴CG=m-4                                                 
∴C（m+4，4-m）  
綜上所述，點C坐標是C（m+4，4-m）


（3）
如圖1，當點P在OB上時，
∵CD∥y軸，則CD⊥OE
∵點D在拋物線上，橫坐標是m+4，將x=m+4代入y=

1

4

x²-2x得y=

1

4

(m+4)2-2(m+4)                      
化簡得：y=

1

4

m2-4
∴D（m+4，

1

4

m2-4）              
∴CD=4-m-（

1

4

m2-4）=-

1

4

m2-m+8
∵四邊形ABCD是平行四邊形         
∴AB=CD=4，
∴-

1

4

m2-m+8=4   
解得：m1=-2+2

5

，m2=-2-2

5

∵點P在線段OE上，
∴m2=-2-2

5

不符合題意，舍去
∴P（-2+2

5

，0）
如圖2，當點P在線段BE上時，
∵C（m+4，4-m）             
∵點D在拋物線上，橫坐標是m+4，將x=m+4代入y=

1

4

x²-2x得              
y=

1

4

(m+4)2-2(m+4)                                                          
化簡得：y=

1

4

m2-4
∴D（m+4，

1

4

m2-4）                      
∴CD=

1

4

m²-4-（4-m）=

1

4

m2+m-8=4，
∵四邊形ABDC是平行四邊形                                  
∴AB=CD=4，
∴

1

4

m2+m-8=4
解得m1=-2+2

13

，m2=-2-2

13

∵點P在線段OE上，
∴m2=-2-2

13

不符合題意，舍去
∴P（-2+2

13

，0）
綜上所述，當以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P的坐標為P（-2+2

5

，0）或P（-2+2

13

，0）

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點的求法，綜合性強，需要主要分類討論，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．