如圖,已知拋物線y=ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)把(1)中的拋物線先向左平移1個(gè)單位長度,再向上或向下平移多少個(gè)單位長度能使拋物線與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)?寫出此時(shí)拋物線的解析式.
(3)將(2)中的拋物線向右平移個(gè)單位長度,再向下平移t個(gè)單位長度(t>0),此時(shí),拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn),直線AB與y軸交于點(diǎn)P.當(dāng)t為何值時(shí),過M、N、P三點(diǎn)的圓的面積最。孔钚∶娣e是多少?

【答案】分析:(1)由圖象可知A(1,0),B(4,6),可用待定系數(shù)求出拋物線的解析式;
(2)原拋物線的解析式可配方為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,-),先向左平移1個(gè)單位長度,再平移使拋物線與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn),得新拋物線的頂點(diǎn)為(,0),設(shè)新拋物線的解析式為y=(x-h)2+k,把新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可;
(3)先設(shè)出平移后拋物線的解析式,不難得出平移后拋物線的對(duì)稱軸為x=3.因此過P,M,N三點(diǎn)的圓的圓心必在直線x=3上,要使圓的面積最小,那么圓心到P點(diǎn)的距離也要最。ㄔO(shè)圓心為C),即P,C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,因此圓的半徑就是3.求出P點(diǎn)的坐標(biāo).可設(shè)出平移后的拋物線的解析式,表示出MN的長,如果設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,那么可表示出ME的長,然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離,即t的值.
解答:解:(1)由圖象可知A(1,0),B(4,6),代入y=ax2+bx+2.
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-3x+2.

(2)原拋物線的解析式可配方為,拋物線向左平移1個(gè)單位長度后解析式為,設(shè)向上或向下平移h個(gè)單位長度,則解析式為
由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線AB的解析式為y=2x-2,

,化簡得x2-3x+h+2=0,
∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn),即此一元二次方程只有唯一的根,
∴b2-4ac=0,即9-4×(h+2)=0.∴,也就是拋物線再向上平移個(gè)單位長度能與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)拋物線的解析式為

(3)拋物線向右平移個(gè)單位長度,再向下平移t個(gè)單位長度,
解析式為y=(x-3)2-t.
令y=0,即(x-3)2-t=0,則x1=3+,x2=3-
由(2)知:點(diǎn)P(0,-2).
∵過M、N、P三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線x=3上,點(diǎn)P為定點(diǎn),
∴要使圓的面積最小,圓的半徑應(yīng)等于點(diǎn)P到直線x=3的距離,此時(shí),半徑為3,面積為9π.
設(shè)圓心為C,MN的中點(diǎn)為E,連接CE,CM.
在三角形CEM中,∵M(jìn)E2+CE2=CM2,
∴(2+22=32,∴t=5.
∴當(dāng)t=5時(shí),過M、N、P三點(diǎn)的圓的面積最小,最小面積為9π??.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到待定系數(shù)求出拋物線的解析式,拋物線的頂點(diǎn)公式拋物線的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù);拋物線的平移,看頂點(diǎn)的平移即可;左右平移,只改變頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),左減右加;上下平移,只改變頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),上加下減.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(4)點(diǎn)Q是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△QOB為等腰三角形,請寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).(可直接寫出結(jié)果)

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

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(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對(duì)稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),若△PAB∽△OBC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時(shí),y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點(diǎn),且y1>y2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點(diǎn)M、交拋物線于點(diǎn)N,求線段MN的長度的最大值;
(4)若以拋物線上的點(diǎn)P為圓心作圓與x軸相切時(shí),正好也與y軸相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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