Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）把（1）中的拋物線先向左平移1個(gè)單位長度，再向上或向下平移多少個(gè)單位長度能使拋物線與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)？寫出此時(shí)拋物線的解析式．
（3）將（2）中的拋物線向右平移個(gè)單位長度，再向下平移t個(gè)單位長度（t＞0），此時(shí)，拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)P．當(dāng)t為何值時(shí)，過M、N、P三點(diǎn)的圓的面積最�。孔钚∶娣e是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖象可知A（1，0），B（4，6），可用待定系數(shù)求出拋物線的解析式；
（2）原拋物線的解析式可配方為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-），先向左平移1個(gè)單位長度，再平移使拋物線與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)，得新拋物線的頂點(diǎn)為（，0），設(shè)新拋物線的解析式為y=（x-h）²+k，把新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；
（3）先設(shè)出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對(duì)稱軸為x=3．因此過P，M，N三點(diǎn)的圓的圓心必在直線x=3上，要使圓的面積最小，那么圓心到P點(diǎn)的距離也要最�。ㄔO(shè)圓心為C），即P，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此圓的半徑就是3．求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．可設(shè)出平移后的拋物線的解析式，表示出MN的長，如果設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，那么可表示出ME的長，然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離，即t的值．
解答：解：（1）由圖象可知A（1，0），B（4，6），代入y=ax²+bx+2．
得解得
∴拋物線的解析式為y=x²-3x+2．

（2）原拋物線的解析式可配方為，拋物線向左平移1個(gè)單位長度后解析式為，設(shè)向上或向下平移h個(gè)單位長度，則解析式為．
由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線AB的解析式為y=2x-2，
由
得，化簡得x²-3x+h+2=0，
∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，即此一元二次方程只有唯一的根，
∴b²-4ac=0，即9-4×（h+2）=0．∴，也就是拋物線再向上平移個(gè)單位長度能與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)拋物線的解析式為．

（3）拋物線向右平移個(gè)單位長度，再向下平移t個(gè)單位長度，
解析式為y=（x-3）²-t．
令y=0，即（x-3）²-t=0，則x₁=3+，x₂=3-．
由（2）知：點(diǎn)P（0，-2）．
∵過M、N、P三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線x=3上，點(diǎn)P為定點(diǎn)，
∴要使圓的面積最小，圓的半徑應(yīng)等于點(diǎn)P到直線x=3的距離，此時(shí)，半徑為3，面積為9π．
設(shè)圓心為C，MN的中點(diǎn)為E，連接CE，CM．
在三角形CEM中，∵M(jìn)E²+CE²=CM²，
∴（）²+2²=3²，∴t=5．
∴當(dāng)t=5時(shí)，過M、N、P三點(diǎn)的圓的面積最小，最小面積為9π??．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到待定系數(shù)求出拋物線的解析式，拋物線的頂點(diǎn)公式拋物線的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)；拋物線的平移，看頂點(diǎn)的平移即可；左右平移，只改變頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加；上下平移，只改變頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，上加下減．