Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，點A、B分別是x軸和y軸上的一動點．

（1）如圖1，若點C的橫坐標為-4，求點B的坐標；
（2）如圖2，邊BC交x軸于點D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標為10，點A（10+5

2

，0），求點D的坐標；
（3）如圖3，等腰直角△ABC在第四象限，在第三象限以線段OB為直角邊作等腰直角△OBF，OB=BF，CF交y軸于點M，求

S△BCM

S△ABO

（S表示面積）的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）作CD⊥BD，易證∠CBD=∠BAO，即可證明△BAO≌△CBD，可得CD=OB，即可解題；
（2）作CE⊥AD，易證△AOF≌△AOB，可得OB=OF，根據(jù)平行線性質(zhì)可得

OF

CE

=

OB

CE

=

AO

AE

=

OD

DE

，即可求得OE的長，根據(jù)相似比即可求得OD的長，即可解題；
（3）易證∠OAB=∠EBG，即可證明△OAB≌△GBE，可得GE=OB，S_△OAB=S_△GBE，即可證明△FBM≌△EGM，可得BM=MG，可得S_△BME=S_△GME，即可解題．

解答：解：（1）作CD⊥BD，

∵∠CBD+∠OBA=90°，∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∵在△BAO和△CBD中，

∠CDB=∠AOB=90° ∠CBD=∠BAO BC=AB

，
∴△BAO≌△CBD，（AAS）
∴CD=OB，
∴點B坐標（0，-4）；
（2）作CE⊥AD，

∵在△AOF和△AOB中，

∠OAF=∠OAB AO=AO ∠FOA=∠BOA

，
∴△AOF≌△AOB，（ASA）
∴OB=OF，
∵CE∥BF，
∴

OF

CE

=

OB

CE

=

AO

AE

=

OD

DE

，
∵tan22.5°=

2

-1，
∴OF=5

2

，
∴AE=10

2

+10，
∴OE=5

2

，

OD

DE

=

OF

CE

=

2

2

，
∴OD=

2

2+ 2

OE=10-5

2

，
∴點D坐標（5

2

-10，0）；
（3）圖中C點與E點重合，

∵∠ABO+∠EBG=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBG，
∵在△OAB和△GBE中，

∠AOB=∠BGE=90° ∠OAB=∠EBG AB=BE

，
∴△OAB≌△GBE，（AAS）
∴GE=OB，S_△OAB=S_△GBE，
∵OB=BF，
∴GE=BF，
∵在△FBM和△EGM中，

∠BMF=∠GME ∠FBM=∠EGM=90° BF=EG

，
∴△FBM≌△EGM，（AAS）
∴BM=MG，
∴S_△BME=S_△GME，
∴

S△BCM

S△ABO

=

S△BME

S△BGE

=

1

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BAO≌△CBD、△AOF≌△AOB、△FBM≌△EGM是解題的關(guān)鍵．