Question

如圖，I是△ABC的內(nèi)心，且CA+AI=BC．若∠BAC=80°，則∠ABC的大小為

 

，∠AIB的大小為

 

．

Answer 1

分析：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，由I是三角形內(nèi)心，則AF+AI=BE，在線段BF上取點(diǎn)O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，
從而得出IO=BO，∠FBI=∠OIB=∠IBE=

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∠EAB，即可求得∠ABC和∠AIB的大小．

解答：解：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，
∵I是三角形內(nèi)心，
∴AD=AF，CD=CE，BE=BF，AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE，
∴AF+AI=BE，
在線段BF上取點(diǎn)O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，
∴∠IAF=∠IOF AI=IO，IO+AF=IO+FO=BF
∴IO=BO，∠EBI=∠OIB=∠IBF=

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∠EBA，∠ACI=∠IAF，∠IAF=∠IOF，
∵∠BAC=80°，
∴∠ABE=40°，
∴∠IBA=20°，
∵∠IAO=40°，
∴∠AIB=120°．
故答案為：40°；120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)心，內(nèi)心的性質(zhì)，利用性質(zhì)求得結(jié)論．