Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB＝2，AP＝1．將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF(如圖①)．

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖②)，求PC的長(zhǎng)；

(2)探究：將直尺從圖②中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止．在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②直接寫(xiě)出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由勾股定理求PB，利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC； 　　(2)tan∠PEF的值不變．過(guò)F作FG⊥AD，垂足為G，同(1)的方法證明△APB∽△DCP，得相似比＝＝＝2，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值； 　　(3)如下圖3，畫(huà)出起始位置和終點(diǎn)位置時(shí)，線段EF的中點(diǎn)O1，O2，連接O1O2，線段O1O2即為線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)，也就是△BPC的中位線． 　　解答：解：(1)在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， 　　AP＝1，CD＝AB＝2，則PB＝， 　　∴∠ABP＋∠APB＝90°， 　　又∵∠BPC＝90°， 　　∴∠APB＋∠DPC＝90°， 　　∴∠ABP＝∠DPC， 　　∴△APB∽△DCP， 　　∴＝即＝， 　　∴PC＝2； 　　(2)tan∠PEF的值不變． 　　理由：過(guò)F作FG⊥AD，垂足為G， 　　則四邊形ABFG是矩形， 　　∴∠A＝∠PFG＝90°，GF＝AB＝2， 　　∴∠AEP＋∠APE＝90°， 　　又∵∠EPF＝90°， 　　∴∠APE＋∠GPF＝90°， 　　∴∠AEP＝∠GPF， 　　∴△APE∽△GPF， 　　∴＝＝＝2， 　　∴Rt△EPF中，tan∠PEF＝＝2， 　　∴tan∠PEF的值不變； 　　(3)線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為． 　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系證明相似三角形．

提示：

相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形．