如圖所示,正方形ABCD的邊長為1,點M、N分別在BC、CD上,使得△CMN的周長為2.
求:(1)∠MAN的大;
(2)△MAN面積的最小值.

【答案】分析:(1)延長CB至L,使BL=DN,則Rt△ABL≌Rt△AND,故AL=AN,進(jìn)而求證△AMN≌△AML,即可求得∠MAN=∠MAL=45°;
(2)設(shè)CM=x,CN=y,MN=z,根據(jù)x2+y2=z2和x+y+z=2,整理根據(jù)△=4(z-2)2-32(1-z)≥0可以解題.
解答:解:(1)如圖,延長CB至L,使BL=DN,則Rt△ABL≌Rt△AND,故AL=AN,
∠1=∠2,∠NAL=∠DAB=90°
又∵M(jìn)N=2-CN-CM=DN+BM=BL+BM=ML
∴△AMN≌△AML
∴∠MAN=∠MAL=45°

(2)設(shè)CM=x,CN=y,MN=z,
則x2+y2=z2
∵x+y+z=2,則x=2-y-z
于是(2-y-z)2+y2=z2
整理得2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0
∴△=4(z-2)2-32(1-z)≥0
即(z+2+)(z+2-)≥0
又∵z>0
∴z≥-2當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2-時等號成立
此時S△AMN=S△AML=ML•AB=z
因此,當(dāng)z=-2,x=y=2-時,S△AMN取到最小值為-1.
點評:本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用,考查了正方形各邊長相等,各內(nèi)角為直角的性質(zhì),本題中求證△AMN≌△AML是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

4、如圖所示,正方形ABCD中,E,F(xiàn)是對角線AC上兩點,連接BE,BF,DE,DF,則添加下列哪一個條件可以判定四邊形BEDF是菱形( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,正方形ABCD中,E為AB中點,F(xiàn)為AD中點,DE、CF交于O點,求證:DE⊥CF.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,DE平分∠ODC交OC于點E,若AB=2,則線段OE的長為( 。
A、
2
2
B、
2
2
3
C、2-
2
D、
2
-1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,正方形ABCD的邊長為1,點E為AB的中點,以E為圓心,1為半徑作圓,分別交AD,BC于M,N兩點,與DC切于點P,則圖中陰影部分面積是
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示的正方形網(wǎng)格中(網(wǎng)格中的每個小正方形邊長是1),△ABC的頂點均在格點上,請在所給的直角坐標(biāo)系中解答下列問題:
(1)作出△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△AB1C1,再作出△AB1C1關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B2C2.(要求:用直尺作出圖形即可,不用保留作圖痕跡,不寫作法.)
(2)點B1的坐標(biāo)是
(-2,-3)
(-2,-3)
,點C2的坐標(biāo)是
(3,1)
(3,1)

(3)求△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°的過程中,線段AB掃過的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案