Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2cm，點(diǎn)C在圓上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，再結(jié)合已知條件可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)30度的直角三角形，再進(jìn)一步根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行求解；
（2）連接OC，由∠BOC=2∠BAC=60°，得到∠AOC的度數(shù)為120°，又由∠ABD=120°，求出OC∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，證得CD與OC垂直，即可得出CD為圓O的切線，得證．

解答：（1）解：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴BC=

1

2

AB=1cm，∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°．
∵CD⊥BD，
∴∠BCD=30°，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

cm．

（2）證明：連接OC，
∵∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠AOC=120°=∠ABD．
∴OC∥BD．
∵CD⊥BD，
∴OC⊥CD．
∴CD是圓的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，圓周角定理的推論、30°角的直角三角形的性質(zhì)．注意：在圓中構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是常見(jiàn)的輔助線之一．