Question

已知△ABC的面積為a，O、D分別是邊AC、BC的中點．
（1）畫圖：在圖中將點D繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到點E，連接AE、CE．填空：四邊形ADCE的面積為________；
（2）在（1）的條件下，若F₁是AB的中點，F(xiàn)₂是AF₁的中點，F(xiàn)₃是AF₂的中點，…，F(xiàn)_n是AF_n-1的中點 （n為大于1的整數(shù)），則△F₂CE的面積為________；△F_nCE的面積為________．

Answer 1

（1）解：如圖：
∵AO=OC，DO=OE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AE=DC，CE=AD，
在△ADC和△CEA中
，
∴△ADC≌△CEA，
∴S_△ADC=S_△CEA=a，
∴四邊形ADCE的面積是a+a=a，
故答案為：a．
（2）解：過C作CM⊥AB于M，
設△ABC邊AB上的高是CM=h，則AB×h=a，
∵BD=DC，AO=CO，
∴DE∥AB，
∴△EAF₂的邊AF₂上的高和△BAD上的邊BF₂上的高相等，都是h，
∴△F₂CE的面積為：S_△ABD+S_{四邊形ADCE}--，
=a+a-×AB×h-×AB×h═a，
∵BF₁=AB，AF₁=AB，
BF₂=AB，AF₂=AB，
BF₃=AB，AF₃=AB，
…
∴BF_n=AB，AF_n=AB，
∴；△F_nCE的面積為S_△ABD+S_{四邊形ADCE}--，
=a+a-×AB×h-×AB×h，
=a+a-a-a，
=a．
故答案為：a，a．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定的平行四邊形ADCE，推出AE=CD，AD=CE，根據(jù)SSS證△ADC和△CEA全等，即可求出答案；
（2）設△ABC邊AB上的高是h，則AB×h=a，求出DE∥AB，推出△EAF₂的邊AF₂上的高和△BCF₂上的邊BF₂上的高相等，都是h，根據(jù)△F₂CE的面積為：S_△ABD+S_{四邊形ADCE}--，代入求出即可；求出BF₁=AB，AF₁=AB，BF₂=AB，AF₂=AB，BF₃=AB，AF₃=AB，根據(jù)線段的結(jié)果推出BF_n=AB，AF_n=AB，根據(jù)△F_nCE的面積為S_△ABD+S_{四邊形ADCE}--，代入求出即可．
點評：本題考查了三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的應用，關(guān)鍵是根據(jù)線段的結(jié)果得出BF_n，AF_n的長，本題有一定的難度，對學生提出了較高的要求，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和總結(jié)規(guī)律的能力．