Question

如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10．求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
把△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△AP′B，
由旋轉的性質，AP′=AP，P′B=PC=10，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′²+PB²=6²+8²=100=P′B²，
∴△BPP′是直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°，
故∠APB的度數(shù)是150°．
分析：把△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△AP′B，根據(jù)旋轉的性質可得AP′=AP，P′B=PC，∠PAP′=60°，然后判定△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質求出∠APP′=60°，PP′=PA，再利用勾股定理逆定理求出△BPP′是直角三角形并得到∠BPP′=90°，然后根據(jù)∠APB=∠APP′+∠BPP′代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，勾股定理逆定理，熟練掌握旋轉的性質作輔助線構造出等邊三角形和直角三角形是解題的關鍵．