Question

孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線(xiàn)y=ax²（a＜0）的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與該拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
（1）若測(cè)得（如圖1），求a的值；
（2）對(duì)同一條拋物線(xiàn)，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過(guò)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，測(cè)得OF=1，寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)______；
（3）對(duì)該拋物線(xiàn)，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A、B的連線(xiàn)段總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，試說(shuō)明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，可證△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．
（3）設(shè)A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知交點(diǎn)A、B的連線(xiàn)段總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)（0，-2）．
解答：解：（1）設(shè)線(xiàn)段AB與y軸的交點(diǎn)為C，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得C為AB中點(diǎn)，
∵，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2），
將B（2，-2）代入拋物線(xiàn)y=ax²（a＜0）得，．

（2）解法一：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴B（1，），
∴．
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴，
∴AE=2OE，
設(shè)點(diǎn)A（-m，）（m＞0），則OE=m，
，
∴，
∴m=4，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4．

解法二：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴B（1，），
∴，
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴，
∴AE=2OE，
設(shè)點(diǎn)A（-m，）（m＞0），
則OE=m，，
∴，
∴m=4，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4．

解法三：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴B（1，），
設(shè)A（-m，）（m＞0），
則，，，
∵∠AOB=90°
∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（-+m²）²=+m²+m⁴，
解得：m=4，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4．

（3）解法一：設(shè)A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為：y=kx+b，則，
（1）×n+（2）×m得，，
∴（8分）
又易知△AEO∽△OFB，
∴，
∴，
∴mn=4，
∴．
由此可知不論k為何值，直線(xiàn)AB恒過(guò)點(diǎn)（0，-2）．
（說(shuō)明：寫(xiě)出定點(diǎn)C的坐標(biāo)就給2分）

解法二：∵點(diǎn)A是拋物線(xiàn)y=-x²上的點(diǎn)，
∴設(shè)A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
直線(xiàn)AB與y軸的交點(diǎn)為C，根據(jù)S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△B0F=S_△AOC+S_△BOC，
可得，
化簡(jiǎn)，得．
又易知△AEO∽△OFB，
∴，
∴，
∴mn=4，
∴OC=2為固定值．故直線(xiàn)AB恒過(guò)其與y軸的交點(diǎn)C（0，-2），
說(shuō)明：mn的值也可以通過(guò)以下方法求得．
由前可知，，，，
由OA²+OB²=AB²，得：，
化簡(jiǎn)，得mn=4．
本答案僅供參考，若有其他解法，請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和相似三角形的判定和性質(zhì)，第（3）問(wèn)求出mn=4是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．