Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=10厘米，OC=6厘米，現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，A同時出發(fā)，點P在線段OA上沿OA方向作勻速運動，點Q在線段AB上沿AB方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1厘米/秒．點Q的運動速度為

1

2

厘米/秒，運動時間為t秒．
①求△CPQ的面積S關于t的函數(shù)關系式；
②當△CPQ的面積最小時，求點Q的坐標；
③當△COP和△PAQ相似時，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：①因為無法直接求△CPQ的面積，只好用梯形的面積減去兩個三角形的面積，得到關于t的二次函數(shù)，求最小值就可以了，從而得到t的值，就可求出Q的坐標．利用三角形的相似，可以得到比例線段，求出t的值，
②由①把s和t之間的二次函數(shù)配方即可得到△CPQ的面積最小，進一步就可以求出點Q的坐標；
③利用三角形的相似，得到比例線段，解關于a、t的二元一次方程即可，那么Q點的坐標就可求．

解答：解：①由題意可知：S_△CPQ=S_梯形QCOA-S_△COP-S_△APQ
=

1

2

（AQ+OC）×OA-

1

2

AP•AQ-

1

2

OC•OP
=

1

2

（0.5t+6）×10-

1

2

×0.5t×（10-t）-

1

2

×6×t
=

1

4

t²-3t+30；

②設兩點運動的時間是t時，△CPQ面積最�。�
由①可知S_△CPQ=

1

4

t²-3t+30=

1

4

（t-6）²+21，
∵a=

1

4

＞0，
∴當t=6時，S_△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q點的坐標是（10，3）；

③△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP兩種情況：
（i）當△COP∽△PAQ時：
則

AQ

AP

=

OP

OC

，
∴

0.5t

10-t

=

t

6

，
即t²-7t=0，
解得，t₁=0（不合題意，舍去），t₂=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q點的坐標是（10，3.5）．
（ii）當△COP∽△QAP時：
則

OP

OC

=

AP

AQ

，
∴

t

6

=

10-t

0.5t

，
即t²+12t-120=0
解得：t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（不合題意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+

39

，
∴Q點的坐標是（10，-3+

39

），
綜上可知：Q點的坐標是（10，3.5）或（10，-3+

39

）．

點評：本題考查了梯形、三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)，關鍵要會用含t的代數(shù)式表示線段的長，還用到了二次函數(shù)求最小值的知識（當a＞0時，二次函數(shù)有最小值），矩形的性質(zhì)以及路程等于速度乘以時間等知識．