Question

（本題滿分10分）

猜想與證明：

如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

拓展與延伸：

（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 ．

（2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立．

Answer 1

猜想與證明：DM=ME；拓展與延伸：（1）DM=ME．（2）成立，見解析.

【解析】

試題分析：猜想與證明：觀察圖形可猜想DM=ME；延長EM交AD于點(diǎn)H，只需證明HM=EM，利用直角三角形的性質(zhì)便可證明HM=DM=EM，因此根據(jù)條件證明△FME≌△AMH即可；拓展與延伸：（1）觀察圖形可得出結(jié)論：DM=ME；（2）連接AE，說明△AEF是直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得ME=MF=MA,得證.

試題解析：

【解析】
猜想：DM=ME

證明：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．

（1）如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME，故答案為：DM=ME．

（2）如圖2，連接AE，

∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一條直線上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，

在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME， ∴DM=ME．

考點(diǎn)：1.矩形的性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì)；4.直角三角形的性質(zhì).

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：四邊形 四邊形：四邊形的初中數(shù)學(xué)中考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，分值一般為10-14分，題型以選擇，填空，解答證明或融合在綜合題目中為主，難易度為中。主要考察內(nèi)容：①多邊形的內(nèi)角和，外角和等問題②圖形的鑲嵌問題③平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性質(zhì)和判定。突破方法：①掌握多邊形，四邊形的性質(zhì)和判定方法。熟記各項(xiàng)公式。②注意利用四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)四邊形的證明。③注意開放性題目的解答，多種情況分析。 試題屬性

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