Question

如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，AC=2，BC=

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，對角線AC與BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)分別交BC、AD于點E、F，連接DE、BF，問：直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)多少度時，四邊形BEDF是菱形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：菱形的判定,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AD∥BC，根據(jù)勾股定理求出AB=1，得出AO=AB=1，求出EF⊥BD，證△DOF≌△BOE，推出OF=OE，根據(jù)平行四邊形和菱形的判定推出即可．

解答：當直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45度時，四邊形BEDF是菱形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵AB⊥AC，AC=2，BC=

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，
∴由勾股定理得：AB=1，
∴AO=AB=1，
∴∠AOB=45°，
∵AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，
∴∠AOF=45°，
∴∠BOF=90°，
∴EF⊥BD，
∵DF∥BE，
∴∠EBO=∠FDO，
在△DOF和△BOE中，

∠FDO=∠EBO DO=BO ∠FOD=∠BOE

，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴OF=OE，
∵OD=OB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形，
即當直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45度時，四邊形BEDF是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應用，主要考查學生運用性質(zhì)進行推理的能力．