【題目】如圖,頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在直線AC的上方的拋物線上,有一點(diǎn)P(不與點(diǎn)M重合),使△ACP的面積等于△ACM的面積,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得△QAM為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(2,3);(3)存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(0,1)或(0,3)或(0,)或(0,﹣)
【解析】
(1)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;
(2)過(guò)點(diǎn)M作直線m∥AC,在AC下方作等距離的直線n,直線n與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)P,即可求解;
(3)分AM時(shí)斜邊、AQ是斜邊、MQ是斜邊三種情況,分別求解即可.
解:(1)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),
故﹣3a=1,解得:a=﹣1,
故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)過(guò)點(diǎn)M作直線m∥AC,直線m與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)P,
設(shè)直線m的表達(dá)式為:y=﹣x+b,
點(diǎn)M(1,4),則直線m的表達(dá)式為:y=﹣x+5,
聯(lián)立方程組,
解得:x=1(舍去)或2;
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(2,3);
(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(0,m),而點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別為:(3,0)、(1,4);
則AM2=20,AQ2=9+m2,MQ2=(m﹣4)2+1=m2﹣8m+17;
當(dāng)AM時(shí)斜邊時(shí),則20=9+m2+m2﹣8m+17,解得:m=1或3;
當(dāng)AQ是斜邊時(shí),則9+m2=20+ m2﹣8m+17,解得m=;
當(dāng)MQ是斜邊時(shí),則m2﹣8m+17=20+9+m2,解得m=﹣,
綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(0,1)或(0,3)或(0,)或(0,﹣)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠XOY=60°,點(diǎn)A在邊OX上,OA=2.過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OY于點(diǎn)C,以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC,點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域(包括各邊)內(nèi)的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD∥OY交OX于點(diǎn)D,作PE∥OX交OY于點(diǎn)E.設(shè)OD=a,OE=b,則a+2b的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6,1),C(5,0),且與y軸交于點(diǎn)A.
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA,交線段OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,如果∠PAB=45°.求證:△PQA∽△ACB;
(3)若點(diǎn)F是線段AB(不包含端點(diǎn))上的一點(diǎn),且點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′恰好在上述拋物線上,求FF′的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,AD、BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切線,切點(diǎn)為B,OC∥AD,BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)若AE=1,ED=3,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo),通過(guò)對(duì)5天的試銷(xiāo)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
(1)通過(guò)對(duì)上面表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)量y(件)與單價(jià)(元/件)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫(xiě)出函數(shù)自變量的取值范圍);
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中,銷(xiāo)量與單價(jià)仍然存在(2)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是20元/件.為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少?
(3)為保證產(chǎn)品在實(shí)際試銷(xiāo)中銷(xiāo)售量不得低于30件,且工廠獲得得利潤(rùn)不得低于400元,請(qǐng)直接寫(xiě)出單價(jià)的取值范圍;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將邊長(zhǎng)為1的正三角形OAP沿χ軸方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)若干次,點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1,P2,P3,…,P2018的位置,則點(diǎn)P2018的橫坐標(biāo)為( 。
A.2016B.2017C.2018D.2019
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D、E是邊AB上兩點(diǎn),且CE所在直線垂直平分線段AD,CD平分∠BCE,BC=2,則AB=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】王某承包了甲、乙兩片荒山,各栽了100棵楊梅樹(shù),現(xiàn)已全部掛果,為了分析收成情況,他分別從兩山上各采摘了4棵樹(shù)上的全部楊梅,每棵樹(shù)的產(chǎn)量如折線統(tǒng)計(jì)圖.
(1)分別計(jì)算甲、乙兩山樣本的平均數(shù),并估計(jì)出甲、乙兩山楊梅的產(chǎn)量總和;
(2)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,哪個(gè)山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定?
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