Question

如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點P由B點出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，同時點Q由A點出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，它們的速度均為1cm/s，當P點到達C點時，兩點同時停止運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t s，解答下列問題：

（1）當t為何值時，P，Q兩點同時停止運動？

（2）設(shè)△PQB的面積為S，當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值；

（3）當△PQB為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

 解：（1）作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，

∴四邊形AFVE是矩形，

∴AE=DE=5，CE=AD=4，

∴BE=3，

∴BC=，

∴BC＜AB，

∴P到C時，P、Q同時停止運動，

∴t=（秒），

即t=5秒時，P，Q兩點同時停止運動．

（2）由題意知，AQ=BP=t，

∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，則△BPF～△BCE，

∴，即，

∴BF=，

∴S=QB•PF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）²+（0＜t≤5），

∵﹣＜0，

∴S有最大值，當t=4時，S的最大值是；

（3）∵cos∠B=，

∴BF=t•cos∠B=，

∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣，

∴QP===4

①當PQ=PB時，即QP═4，解得t=（舍去負值）

∵t=＞5，不合題意，

②當PQ=BQ時，即4=8﹣t，

解得：t₁=0（舍去），t₂=，

③當QB=BP，即8﹣t=t，

解得：t=4．

綜上所述：當t=秒或t=4秒時，△PQB為等腰三角形．