Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點P₂₀₁₄的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形

專題：規(guī)律型

分析：過點P₁作P₁E⊥x軸于點E，過點P₂作P₂F⊥x軸于點F，過點P₃作P₃G⊥x軸于點G，根據(jù)△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃都是等腰直角三角形，可求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律得出點P_n的坐標(biāo)．

解答：解：過點P₁作P₁E⊥x軸于點E，過點P₂作P₂F⊥x軸于點F，過點P₃作P₃G⊥x軸于點G，
∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，
∴P₁E=OE=A₁E=OA₁，
設(shè)點P₁的坐標(biāo)為（a，a），（a＞0），
將點P₁（a，a）代入y=

1

x

，可得a=1，
故點P₁的坐標(biāo)為（1，1），
則OA₁=2a，
設(shè)點P₂的坐標(biāo)為（b+2，b），將點P₂（b+2，b）代入y=

1

x

，可得b=

2

-1，
故點P₂的坐標(biāo)為（

2

+1，

2

-1），
則A₁F=A₂F=

2

-1，OA₂=OA₁+A₁A₂=2

2

，
設(shè)點P₃的坐標(biāo)為（c+2

2

，c），將點P₃（c+2

2

，c）代入y=

1

x

，可得c=

3

-

2

，
故點P₃的坐標(biāo)為（

3

+

2

，

3

-

2

），
綜上可得：P₁的坐標(biāo)為（1，1），P₂的坐標(biāo)為（

2

+1，

2

-1），P₃的坐標(biāo)為（

3

+

2

，

3

-

2

），
總結(jié)規(guī)律可得：P_n坐標(biāo)為：（

n

+

n-1

，

n

-

n-1

）．
則點P₂₀₁₄的坐標(biāo)是（

2014

+

2013

，

2014

-

2013

）．
故答案是：（

2014

+

2013

，

2014

-

2013

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了點的坐標(biāo)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)解析式求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律，難度較大．