Question

如圖，在兩個半圓中，大圓的弦MN與小圓相切，D為切點，且MN∥AB，MN=8，ON，CD分別為兩圓的半徑，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：如圖，作OE⊥MN于E，易得四邊形DCOE為矩形，再根據垂徑定理得到ME=NE=

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MN，在Rt△OEN中，利用勾股定理得到ON²-OE²=EN²，然后利用陰影部分的面積=

1

2

S_⊙O-

1

2

S_⊙C-進行計算．

解答：解解：如圖，作OE⊥MN于E．
∵大半圓的弦AB與小半圓相切，
∴CD為⊙C的半徑，
∴OC⊥MN，
又∵MN∥AB，
∴四邊形DCOE為矩形，
∴OE=CD，
∵OE⊥MN，
∴ME=NE=

1

2

MN=

1

2

×8=4，
在Rt△OEN中，ON²-OE²=EN²=16，
∵陰影部分的面積=

1

2

S_⊙O-

1

2

S_⊙C=

1

2

（π•ON²-π•CD²）=

1

2

π×16=8π．

點評：本題考查了圓的切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．