Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx的對(duì)稱(chēng)軸為x=，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜2），過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，PB交OA于點(diǎn)C，點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)PB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接CD，AD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式;
（2）填空：
①用含m的式子表示點(diǎn)C，D的坐標(biāo)：
C（　 ，　 �。�，D（　 ， ）；
②當(dāng)m=　 　時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最小；
（3）若△ACD為等腰三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）依題意，得，解得

∴y=x2﹣x

（2）m；；2m；0；1
（3）

依題意，得B（m，0）

在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，

∴OC=m 又∵O，D關(guān)于直線(xiàn)PC對(duì)稱(chēng)，

∴CD=OC=m

在RT△AOE中，OA===

∴AC=OA﹣OC=﹣m

在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5

分三種情況討論：

①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）

②若AC=AD，則有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5

解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

③若DA=DC，則有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2

解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

綜上所述，當(dāng)△ACD為等腰三角形是，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1（1，），P2（，），P3（，）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸公式和代入法可得關(guān)于a，b的方程組，解方程組可得拋物線(xiàn)的解析式；
（2）①設(shè)OA所在的直線(xiàn)解析式為y=kx，將點(diǎn)A（2，1）代入求得OA所在的解析式為y=x，因?yàn)镻C⊥x軸，所以C得橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)相同，為m，令x=m，則y=m，所以得出點(diǎn)C（m，m），又點(diǎn)O、D關(guān)于直線(xiàn)PB的對(duì)稱(chēng)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2m，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，0）；
②因?yàn)镺與D關(guān)于直線(xiàn)PB的對(duì)稱(chēng)，所以PB垂直平分OD，則CO=CD，因?yàn)椋�△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，OA===,所以當(dāng)AD最小時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最��；根據(jù)垂線(xiàn)段最短，可知此時(shí)點(diǎn)D與E重合，其橫坐標(biāo)為2，故m=1．
（3）由中垂線(xiàn)得出CD=OC，再將OC、AC、AD用m表示，然后分情況討論分別得到關(guān)于m的方程，解得m，再根據(jù)已知條件選取復(fù)合體藝的點(diǎn)P坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．