Question

已知⊙O的半徑為6cm，弦AB=6cm，弦AC=6

3

cm，則∠CAB等于

 

度．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：分類討論

分析：分當(dāng)B和C分別位于A的兩側(cè)和當(dāng)B和C位于A的同側(cè)兩種情況，則∠CAB=∠CAO+∠OAB或∠CAB=∠OAB-∠OAC，根據(jù)垂徑定理和三角函數(shù)即可求解．

解答：解：當(dāng)B和C分別位于A的兩側(cè)時(shí)，如圖1．
連接OA、OB，作OD⊥AC于點(diǎn)D．
∵OA=OB=AB=6cm，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=60°，
∵OD⊥AC于點(diǎn)D，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×6

3

=3

3

，
∴在直角△ODA中，cos∠CAO=

AD

OA

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠CAO=30°，
∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=30°+60°=90°；
當(dāng)B和C位于A的同側(cè)，如圖2．
∠CAB=∠OAB-∠OAC=60°-30°=30°．
故答案是：90或30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理和三角函數(shù)，注意到分當(dāng)B和C分別位于A的兩側(cè)和同側(cè)兩種情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵．