【題目】已知函數(shù)y=mx2﹣(2m﹣5)x+m﹣2的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).
(1)求m的取值范圍,并寫(xiě)出當(dāng)m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時(shí)函數(shù)的解析式;
(2)題(1)中求得的函數(shù)記為C1 ,
①當(dāng)n≤x≤﹣1時(shí),y的取值范圍是1≤y≤﹣3n,求n的值;
②函數(shù)C2:y=m(x﹣h)2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到,其頂點(diǎn)P落在以原點(diǎn)為圓心,半徑為 的圓內(nèi)或圓上,設(shè)函數(shù)C1的圖象頂點(diǎn)為M,求點(diǎn)P與點(diǎn)M距離最大時(shí)函數(shù)C2的解析式.
【答案】
(1)
解:∵函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
∴m≠0且[﹣(2m﹣5)]2﹣4m(m﹣2)>0,
解得:m< 且m≠0.
∵m為符合條件的最大整數(shù),
∴m=2.
∴函數(shù)的解析式為y=2x2+x.
(2)
解:①拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣ =﹣ .
∵n≤x≤﹣1<﹣ ,a=2>0,
∴當(dāng)n≤x≤﹣1時(shí),y隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x=n時(shí),y=﹣3n.
∴2n2+n=﹣3n,解得n=﹣2或n=0(舍去).
∴n的值為﹣2.
②∵y=2x2+x=2(x+ )2﹣ ,
∴M(﹣ ,﹣ ).
如圖所示:
當(dāng)點(diǎn)P在OM與⊙O的交點(diǎn)處時(shí),PM有最大值.
設(shè)直線OM的解析式為y=kx,將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得:﹣ k=﹣ ,解得:k= .
∴OM的解析式為y= x.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x).
由兩點(diǎn)間的距離公式可知:OP= =5,
解得:x=2或x=﹣2(舍去).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M距離最大時(shí)函數(shù)C2的解析式為y=2(x﹣2)2+1.
【解析】(1)函數(shù)圖形與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),則該函數(shù)為二次函數(shù)且△>0,故此可得到關(guān)于m的不等式組,從而可求得m的取值范圍;(2)先求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,當(dāng)n≤x≤﹣1時(shí),函數(shù)圖象位于對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè),y隨x的增大而減小,當(dāng)當(dāng)x=n時(shí),y有最大值﹣3n,然后將x=n,y=﹣3n代入求解即可;(3)先求得點(diǎn)M的坐標(biāo),然后再求得當(dāng)MP經(jīng)過(guò)圓心時(shí),PM有最大值,故此可求得點(diǎn)P的坐標(biāo),從而可得到函數(shù)C2的解析式.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(a,b),將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至OA',則點(diǎn)A'的坐標(biāo)是_______ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE,點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為 ,則圖中陰影部分的面積是( )
A.
B.
C. ﹣
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),且MN⊥DE,垂足為點(diǎn)N
⑴求證:ME=MD;
⑵若BC=20cm,ED=12cm,求MN的長(zhǎng)
⑶如果BD平分∠ABC,求證:AC=4EN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在下列條件中,不能證明△ABD≌△ACD的條件是( )
A. ∠B=∠C,BD=DC B. ∠ADB=∠ADC,BD=DC
C. ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. BD=DC,AB=AC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中,其中∠P=90°,PM交AB于點(diǎn)E,PN交CD于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時(shí),求出∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系;
(2)當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時(shí),求證:∠PFD-∠AEM=90°;
(3)在(2)的條件下,若MN與CD交于點(diǎn)O,且∠DON=15°,∠PEB=30°,求∠N的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖所示,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,則不正確的結(jié)論是( 。
A. ∠1=∠2 B. ∠A =∠2 C. △ABC≌△CED D. ∠A與∠D互為余角
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移,與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,交直線AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F.
(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N都在線段AC上時(shí),連接EN,如果點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0),求sin∠ANE的值;
(3)在刻度尺平移過(guò)程中,當(dāng)以點(diǎn)P、Q、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
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