Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20.CD為斜邊AB上的高.矩形EFGH的邊EF與CD重合,A、D、B、G在同一直線上(如圖1).將矩形EFGH向左邊平移,EF交AC于M(M不與A重合,如圖2),連接BM,BM交CD于N,連接NF.
(1)直接寫出圖2中所有與△CDB相似的三角形;
(2)設(shè)CE=x,△MNF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求△MNF的最大面積;
(3)在平移過程中是否存在四邊形MFNC為平行四邊形的情形?若存在,求出x的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)有△CEM∽△CDB,△AFM∽△CDB,△ADC∽△CDB,△ACB∽△CDB;
(2)過N作NQ⊥EF于Q,求出EC=DF=NQ=x,由勾股定理求出AB=25,根據(jù)三角形面積公式求出CD=12,由勾股定理求出AD=16,BD=9,根據(jù)△AMF∽△ACD求出FM=-
3
4
x+12,代入y=
1
2
FM×NQ求出即可;
(3)根據(jù)△BDN∽△BFM求出DN=
9
9+x
(-
3
4
x+12),求出CN=12-
9
9+x
(-
3
4
x+12),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出方程-
3
4
x+12=12-
9
9+x
(-
3
4
x+12),求出方程的解即可.
解答:解:(1)△CEM∽△CDB,△AFM∽△CDB,△ADC∽△CDB,△ACB∽△CDB;

(2)
過N作NQ⊥EF于Q,如圖2,
∵據(jù)平移和矩形性質(zhì)得出EF∥CD,EC∥FD,
∴四邊形EFDC是矩形,
∴EC=DF=NQ=x,
∵△ACB中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,由勾股定理得:AB=25,
S△ACB=
1
2
AB×CD=
1
2
AC×BC,
∴CD=12,由勾股定理得:AD=16,BD=9,
∵EF∥DC,
∴△AMF∽△ACD,
FM
CD
=
AF
AD
,
FM
12
=
16-x
16
,
FM=-
3
4
x+12,
∴y=
1
2
FM×NQ=
1
2
(-
3
4
x+12)x,
y=-
3
8
x2+6x,
y=-
3
8
x2+6x

y=-
3
8
(x-8)2+24,
即當(dāng)x=8時(shí),△MNF的最大面積是24;
自變量x的取值范圍是0<x<16,當(dāng)x=8時(shí),有最大值24;

(3)∵EF∥CD,
∴△BDN∽△BFM,
DN
FM
=
BD
BF
,
DN
-
3
4
x+12
=
9
9+x

∴DN=
9
9+x
(-
3
4
x+12),
∴CN=12-DN=12-
9
9+x
(-
3
4
x+12),
假設(shè)存在四邊形MFNC為平行四邊形,
此時(shí)CN=FM,
即-
3
4
x+12=12-
9
9+x
(-
3
4
x+12),
解得:x=6,
即在平移過程中存在四邊形MFNC為平行四邊形的情形,此時(shí)x的值是6.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,矩形的性質(zhì)和判定,平行四邊形性質(zhì),勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力,有一定的難度.
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如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足為D,交AB于點(diǎn)E.又點(diǎn)F在DE的精英家教網(wǎng)延長線上,且AF=CE.求證:四邊形ACEF是菱形.

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cm.

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(1)求證:AE=BF;
(2)若BC=
2
cm,求正方形DEFG的邊長.

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精英家教網(wǎng)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,D為AB的中點(diǎn),DE⊥AB,AB=20,AC=12,則四邊形ADEC的面積為
 

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