【題目】已知拋物線yax2+bx+ca≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,﹣3),拋物線的對(duì)稱軸為x1,D為拋物線的頂點(diǎn).

1)求拋物線的解析式.

2)點(diǎn)E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Ex軸的垂線,與拋物線交于點(diǎn)F,求四邊形ACFB面積的最大值,以及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PCD為等腰三角形?若存在,寫(xiě)出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1yx22x3;(2)四邊形ACFB面積的最大值為,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,﹣);(3)存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為(1,﹣3)或(1,﹣2)或(1,﹣4+)或(1,﹣4

【解析】

1)由B、C的坐標(biāo),結(jié)合拋物線對(duì)稱軸,根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

2)由B、C坐標(biāo)可求得直線BC解析式,設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo),則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得EF的長(zhǎng),則可表示出CBF的面積,從而可表示出四邊形ACFB的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其最大值,進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo);

3)由拋物線解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,t),則可表示出PC、PDCD的長(zhǎng),由等腰三角形可分PCPD、PCCDPDCD三種情況,分別得到關(guān)于t的方程,即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)∵點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(3,0)(0,﹣3),拋物線的對(duì)稱軸為x1,

,解得,

∴拋物線解析式為yx22x3;

2))設(shè)直線BC解析式為ykx+b

代入B3,0),C0,﹣3)得,

解得:

∴直線BC解析式為yx3,

E點(diǎn)在直線BC上,F點(diǎn)在拋物線上,

∴設(shè)Fx,x22x3),Ex,x3),

∵點(diǎn)F在線段BC下方,

EFx3﹣(x22x3)=﹣x2+3x

SBCFEFOB×3(﹣x2+3x)=﹣x2+x=﹣x2+,

又∵SABCABOC×4×36,

S四邊形ACFBSABC+SBCF6x2+=﹣x2+,

∵﹣0,

∴當(dāng)x時(shí),S四邊形ACFB有最大值,最大值為,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣),

綜上可得:四邊形ACFB面積的最大值為,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,﹣);

3)∵yx22x3=(x124

D1,﹣4),且C0,﹣3),

P點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),

∴設(shè)P1,t),

PC,PD|t+4|CD,

∵△PCD為等腰三角形,

∴分PCPDPCCDPDCD三種情況,

①當(dāng)PCPD時(shí),則|t+4|,解得t=﹣3

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣3);

②當(dāng)PCCD時(shí),則,解得t=﹣2t=﹣4(與D點(diǎn)重合,舍去),

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣2);

③當(dāng)PDCD時(shí),則|t+4|,解得t=﹣4+t=﹣4

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣4+)或(1,﹣4);

綜上可知,存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為(1,﹣3)或(1,﹣2)或(1,﹣4+)或(1,﹣4).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,拋物線軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),,矩形的邊,延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如圖2,點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)軸的平行線交直線于點(diǎn),作,垂足為.設(shè)的長(zhǎng)為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的函數(shù)關(guān)系是(不必寫(xiě)出的取值范圍),并求出的最大值;

(3)如果點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),拋物線上是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫(xiě)出所有滿足條件的的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、形狀完全相同的三個(gè)小球,上面分別標(biāo)有1,23三個(gè)數(shù)字.

1)從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,求這個(gè)球上數(shù)字是奇數(shù)的概率是

2)從中先隨機(jī)摸出一個(gè)球記下球上數(shù)字,然后放回洗勻,接著再隨機(jī)摸出一個(gè),求這兩個(gè)球上的數(shù)都是奇數(shù)的概率(用列表或樹(shù)狀圖方法)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:如圖,是⊙的直徑,為⊙外一點(diǎn),,垂足為,弦,且,

(1)求證:是⊙的切線;

(2)求⊙的半徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)A是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),連接OA,以A為旋轉(zhuǎn)中心將AO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AO′,當(dāng)O′恰好落在拋物線上時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為______________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外其余均相同的m個(gè)小球其中 5 個(gè)黑球, 從袋中隨機(jī)摸出一球,記下其顏色,這稱為依次摸球試驗(yàn),之后把它放回袋 中,攪勻后,再繼續(xù)摸出一球以下是利用計(jì)算機(jī)模擬的摸球試驗(yàn)次數(shù)與摸出黑球次數(shù)的列表:

摸球試驗(yàn)次數(shù)

100

1000

5000

10000

50000

100000

摸出黑球次數(shù)

46

487

2506

5008

24996

50007

根據(jù)列表,可以估計(jì)出 m 的值是(

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,中,,,,邊上一點(diǎn).

1)當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出  ,  

2)如圖1,當(dāng),時(shí),連并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于,求證:

3)如圖2,連,當(dāng)時(shí),求的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(8分)如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1)、(2,1)。

(1)以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將OBC放大到兩倍畫(huà)出圖形。

(2)寫(xiě)出B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B、C的坐標(biāo);

(3)如果OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),寫(xiě)出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A2,1),B兩點(diǎn).

1)求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;

2)請(qǐng)直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo),并指出使反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案